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2016年中国矿业大学(北京)实变函数与泛函分析考研大纲

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《实变函数与泛函分析》考试大纲

专业代码:070101、070102、070103、070104

专业名称:基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学

考试科目代码:840考试科目名称:实变函数与泛函分析

(一)考试内容

试题以程其襄等编著《实变函数与泛函分析基础》(第二版)(高等教育出版社,2003年12月,北京)为蓝本,内容涵盖该教材的第一至五章和第七至十章,以可测函数、积分论和有界线性算子的知识为主,兼顾测度论、赋范线性空间和内积空间等方面的内容。试题重点考查的内容:

一、测度论

1.外测度

2.可测集

二、可测函数

1.可测函数及其性质

2.叶果洛夫定理与鲁津定理

3.依测度收敛

三、积分论

1.勒贝格积分的定义及性质

2.一般可积函数

3.积分的极限定理与富比尼定理

四、赋范线性空间和有界线性算子

1.赋范线性空间和巴拿赫空间

2.有界线性算子和连续线性泛函

五、内积空间

1.投影定理

2.希尔伯特空间的规范正交系和连续线性泛函

六、巴拿赫空间中的基本定理

1.泛函延拓定理

2.纲定理、一致有界性定理、逆算子定理和闭图像定理

3.强收敛、弱收敛和一致收敛

(二)考试的基本要求

1.基本概念清晰

对可测集、可测函数、勒贝格积分、赋范线性空间、有界线性算子、内积空间等基本概念的理解要清晰全面。

2.知识点的综合运用

注重各知识点之间的联系和对知识点的综合运用。例如:能熟练运用可测集、可测函数、勒贝格积分的各种性质解决积分论中的综合性问题;能运用有界线性算子和连续线性泛函的理论解决具体实例中的范数问题;能熟练运用内积空间中的Bessel不等式和Parseval等式;能理解强收敛、弱收敛和一致收敛的区别和联系,等等。

(三)考试形式

笔试、闭卷

(四)考试基本题型

基本题型可能有:填空题、计算题、解答题和证明题等。

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