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2016考研数学大纲之中值定理专题解析

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新考研大纲如约而至。对考生而言,关注点应从对考纲的关注转到如何更有效地复习上。考虑到这阶段的同学已经历了基础阶段和暑期的复习,已具备一定基础,也对真题中的题型有一定了解,但未必形成知识体系,重难点也未必完全把握。所以,借助此次与大家交流的机会,梳理了高等数学中的重难点,以期给正在全力攀登的你们搭一把手。

专题三中值定理

中值定理相关证明是考研数学中公认的重难点。以往这部分常考证明题这种大题。而近两年没考。去年的高数证明题考的函数不等式的证明,今年出乎意料地考了一个用导数定义证明求导公式的证明题。尽管近两年未考,但作为以前常考大题的考点,哪位同学又敢对这部分内容掉以轻心呢?好,这部分内容的重要性无需赘述,那我们应该如何去把握呢?

首先应该把这部分的定理内容弄清楚。习大大说:“打铁还需自身硬!”我们要用这些定理去证明别的结论,先要自己把这些内容弄透、弄熟。具体而言,这部分涉及的定理有:费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、零点存在定理、介值定理、最值定理和积分中值定理。前四个定理属于微分中值定理,中间三个定理属于闭区间上连续函数的性质,最后一个为积分相关定理。值得一提的是,除了闭区间上连续函数的性质这几个定理外,其余定理要求会证明。

接下来,应总结真题中考过的此类题目的处理思路。这项工作可以自己完成,但须花费一定时间。把近三十年的真题收集起来,总结出解题思路,在此分享给大家。

中值相关证明是从条件出发还是从结论出发呢?大部分情况下应从结论出发。看待证的式子是含一个中值还是两个中值。若含一个中值,接下来再看,是否含导数。若含一个中值并且含导数,则优先考虑罗尔定理,接下来的思路就是构造辅助函数以及找两个点的函数值相等(注意这两个点未必是区间的端点,也可能是区间内部的点)。若含一个中值并且不含导数,那考虑闭区间上连续函数的性质,那块有两个常用的定理等着咱们——零点定理和介值定理。选哪个定理呢?小方法来啦!看待证的中值是位于闭区间还是开区间,若是闭区间,则选介值定理,因为介值定理结论就是中值位于闭区间;反之则选零点定理,因为零点定理结论就是中值位于开区间。

好,一个中值的思路说完了,下面考虑两个中值的情况。请问,若待证式子含两个中值,这是用了几次定理的结果?两次!为什么?因为用一次定理得到的式子只含有一个中值,即便复杂如柯西中值定理也不例外。所以,要出现两个中值,一定是用两次定理的结果。当然,用两次定理,肯定得到两个式子,最终的一个式子含两个中值应为前面得到的两个式子合并后的结果。那么,用哪个定理?根据对真题的分析,两个中值的情况一般考虑拉格朗日或柯西定理。具体是用的哪个定理?对哪个函数用的?这可以通过观察待证的式子得到。

总之,此类问题的思路有点像犯罪现场调查:出现这种结果,是如何造成的?谁是有嫌疑的函数,该函数是通过何种作案工具(定理)造成这种结果的。如果有这种体会,那么我们在做题的同时,也过了一把当福尔摩斯那样的大侦探的瘾。

当然,弄熟基本定理,也弄透了上述处理真题的思路,是否能轻松搞定全部真题呢?未必。真题中有各种变形,有了大致思路,还需把各个细节想清楚:如确定考虑罗尔定理了,那辅助函数如何构造,函数值相等的两点如何找?如确定了用拉格朗日或柯西定理,那辅助函数如何构造,具体选哪个定理?这些细节需要结合真题一步步想通,多练习才能掌握。

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