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2016年考研数学大纲解析:极限

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新考研大纲如约而至。对考生而言,关注点应从对考纲的关注转到如何更有效地复习上。笔者作为奋战在教学一线的数学老师,考虑到这阶段的同学已经历了基础阶段和暑期的复习,已具备一定基础,也对真题中的题型有一定了解,但未必形成知识体系,重难点也未必完全把握。所以,借助此次与广大考生交流的机会,在此梳理了高等数学中的重难点,以期给正在全力攀登的考生搭一把手。

专题一极限

考试对极限的考察以计算为主。下面我们梳理一下极限计算的方法。

1.四则运算

此法可简要概括为"若极限式中每一部分(和差式中的每一项或乘除式的每个因子)的极限存在,则和的极限等于极限的和,差的极限等于极限的差,乘积的极限等于极限的乘积,商的极限等于极限的商(分母不为零)"。

而在实际做题过程中,我们往往不容易观察出每一部分的极限都存在,而是只观察出一部分的极限存在,这时能否利用四则运算法则往下写呢?我们需分成加和乘(减看成特殊的加,除看成特殊的乘)两种运算讨论:两个函数相加,取极限,若能观察出一项的极限存在,若另一项的极限存在,则由四则运算法则,和的极限等于极限的和,可以往下算;若另一项的极限不存在,可以证明(用反证法)整个极限不存在,也即"收敛+发散=发散",而这种情况在真题中的极限计算题中还未出现过。综上,两个函数相加取极限,只要一项极限存在,就可以放心大胆地、一马平川地往下算。万一另一项的极限不存在呢?那回答整个极限不存在即可。下面讨论乘的情况,两个函数相乘取极限,若一个函数的极限存在,那得追问一句:极限值是否为0?若为0,则不能把该函数的极限算出(因为可能出现"0乘无穷"这种未定式);若极限值不为0,则后面的讨论类似于加的情况。

2.洛必达法则

洛必达法则知名度很高。提起极限计算的方法,有同学别的方法想不起来,唯独对洛必达念念不忘,可谓情有独钟。到了这个阶段,对于此法,首先要注意条件。洛必达法则有三个条件:1)0分之0或无穷分之无穷型;2)分子、分母在一个范围(若极限过程为x趋近于一点,则"局部"为该点的某去心邻域)可导;3)分子、分母分别求导后的极限存在。具体函数仅判断第1)条一般不会出问题,因为第2)、3)条在多数情况下成立。但对抽象函数的极限问题要小心,可不可导,连不连续对洛必达法则的运用都有影响。此外,泰勒公式以强大著称,但有一种情况不得不请出不那么强大的洛必达法则帮忙,谁这么大牌?原来是含有变限积分的极限。一般得借助洛必达法则削去积分号。

3.等价无穷小替换

这种方法考生都比较熟悉。首先要记住常见的等价无穷小替换公式。接下来就是广义化的思想方法(如x趋于0时,sinx等价于x,那么x的位置换成趋近于0的函数行不行?行!这就是广义化的思想)。再者,等价无穷小替换常在洛必达法则之前用,这样可以简化洛必达法则中的求导运算。注意,易错点是只有整个极限式的乘除因子才能替换。

4.泰勒公式

泰勒公式可以说是计算极限的最强大的武器。有同学戏称"一把泰勒走天下,洛必达之类都是浮云"。确有几分道理。该公式有两种形式:带皮亚诺余项的公式和带拉格朗日余项的公式。前者用来算极限,后者用来证明。算极限首先应记清8个常用的泰勒公式(exp(x),sinx,cosx,arcsinx,tanx,arctanx,ln(1+x),(1+x)^a在0点展开的泰勒公式),接下来就是带入、化简计算的功夫了。泰勒公式展示其威力的场合还有抽象函数。有一个信号会提示我们考虑泰勒公式,即题目中出现高阶导数(二阶及以上阶数的导数称为高阶导数)。

5.幂指型函数的处理

幂指型函数是指底数位置和指数位置都有自变量的函数。此类函数在考试中可能让我们求极限或求导数。处理该类函数问题有万能的一招:指数对数恒等式转化。

6.夹逼定理

首先要熟悉该定理的内容。有数列和函数两种形式。若一个数列夹在两外两个数列之间(并不要求对所有的n成立,对充分大的n成立即可),且在n趋于无穷时,两头的数列收敛到同一个数,则中间的数列被逼迫着极限也存在且极限值为同一个数。函数形式的夹逼定理类似理解。

接着应熟悉一个结论:无穷小乘以有界量=无穷小。该结论是夹逼定理的推论。可用其解题。

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